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POLINÔMIOS
Para polinômios podemos encontrar várias definições diferentes como: Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. Polinômio é um ou mais monômios separados por operações. As duas podem ser aceitas, pois se pegarmos um polinômio encontraremos nele uma expressão algébrica e monômios separados por operações. • 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). • 3x + 5 é um polinômio e uma expressão algébrica. Como os monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio. Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação.
►Adição e subtração de polinômios
Considere os polinômios:- 2x2 + 5x – 2 e - 3x3 + 2x – 1, agora vamos efetuar a adição deles e a subtração. Adição (-2x2 + 5x – 2) + (-3x3 + 2x – 1) -------- eliminar os parênteses. -2x2 + 5x – 2 - 3x3 + 2x – 1 --------- como a operação é adição e o sinal de + não altera nada, não é preciso fazer o jogo de sinais, então vamos unir os termos semelhantes, ficando:-2x2 +5x + 2x – 2 – 1 – 3x3 -2x2 + 7x – 3 – 3x3 --------- como o polinômio não tem termos semelhantes, vamos ordenar com relação à potência de x. -3x3 – 2x2 + 7x – 3 Subtração (-2x2 + 5x – 2) - (-3x3 + 2x – 1) ---------- eliminar os parênteses, mas como estamos subtraindo teremos que fazer o jogo de sinal com o segundo polinômio. -------- jogo de sinal. -2x2 + 5x – 2 + 3x3 – 2x + 1 ---------- unir os termos semelhantes. -2x2 + 5x – 2x – 2 + 1 + 3x3 -2x2 + 3x -1 + 3x3 --------- como o polinômio não tem termos semelhantes, vamos ordenar com relação à potência de x. 3x3 - 2x2 + 3x -1.
►Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo: (3x2) . (5x3 + 8x2 - x) ↓ ↓ MONÔMIO POLINÔMIO (3x2) . (5x3 + 8x2 - x) ↓ ↓ 1º FATOR 2º FATOR DA MULTIPLICAÇÃOComo o 1º fator é um monômio, basta multiplicá-lo por cada termo do polinômio (2º fator), utilizando a propriedade distributiva. (3x2) . (5x3 + 8x2 - x) = 5x3 . 3x2 + 8x2 . 3x2 - x . 3x2 = ↓ ↓ ↓ 15x5 + 24x4 - 3x3 15x5 + 24x4 - 3x3 ►Multiplicação de polinômio por polinômio Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio, também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo: (x – 1) . (x2 + 2x - 6) ↓ ↓ POLINÔMIO POLINÔMIO (1º FATOR) (2º FATOR) O 1º fator tem que multiplicar todos os termos do 2º fator. (x – 1) . x2 + (x – 1) . 2x - (x – 1) . 6 -------- agora temos multiplicações de monômio por polinômio, para resolver cada uma delas utilizamos a propriedade distributiva. ------------ retirar dos parênteses os polinômios, unir os termos semelhantes. x3 - x2 + 2x2 - 2x - 6x + 6 x3 + x2 – 8x + 6 ------- como não tem mais termos semelhantes, o polinômio já está reduzido ao máximo. Concluímos que: para multiplicarmos polinômio por polinômio devemos multiplicar cada termo de um por todos os termos do outro.
Para polinômios podemos encontrar várias definições diferentes como: Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. Polinômio é um ou mais monômios separados por operações. As duas podem ser aceitas, pois se pegarmos um polinômio encontraremos nele uma expressão algébrica e monômios separados por operações. • 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). • 3x + 5 é um polinômio e uma expressão algébrica. Como os monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio. Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação.
►Adição e subtração de polinômios
Considere os polinômios:- 2x2 + 5x – 2 e - 3x3 + 2x – 1, agora vamos efetuar a adição deles e a subtração. Adição (-2x2 + 5x – 2) + (-3x3 + 2x – 1) -------- eliminar os parênteses. -2x2 + 5x – 2 - 3x3 + 2x – 1 --------- como a operação é adição e o sinal de + não altera nada, não é preciso fazer o jogo de sinais, então vamos unir os termos semelhantes, ficando:-2x2 +5x + 2x – 2 – 1 – 3x3 -2x2 + 7x – 3 – 3x3 --------- como o polinômio não tem termos semelhantes, vamos ordenar com relação à potência de x. -3x3 – 2x2 + 7x – 3 Subtração (-2x2 + 5x – 2) - (-3x3 + 2x – 1) ---------- eliminar os parênteses, mas como estamos subtraindo teremos que fazer o jogo de sinal com o segundo polinômio. -------- jogo de sinal. -2x2 + 5x – 2 + 3x3 – 2x + 1 ---------- unir os termos semelhantes. -2x2 + 5x – 2x – 2 + 1 + 3x3 -2x2 + 3x -1 + 3x3 --------- como o polinômio não tem termos semelhantes, vamos ordenar com relação à potência de x. 3x3 - 2x2 + 3x -1.
►Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo: (3x2) . (5x3 + 8x2 - x) ↓ ↓ MONÔMIO POLINÔMIO (3x2) . (5x3 + 8x2 - x) ↓ ↓ 1º FATOR 2º FATOR DA MULTIPLICAÇÃOComo o 1º fator é um monômio, basta multiplicá-lo por cada termo do polinômio (2º fator), utilizando a propriedade distributiva. (3x2) . (5x3 + 8x2 - x) = 5x3 . 3x2 + 8x2 . 3x2 - x . 3x2 = ↓ ↓ ↓ 15x5 + 24x4 - 3x3 15x5 + 24x4 - 3x3 ►Multiplicação de polinômio por polinômio Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio, também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo: (x – 1) . (x2 + 2x - 6) ↓ ↓ POLINÔMIO POLINÔMIO (1º FATOR) (2º FATOR) O 1º fator tem que multiplicar todos os termos do 2º fator. (x – 1) . x2 + (x – 1) . 2x - (x – 1) . 6 -------- agora temos multiplicações de monômio por polinômio, para resolver cada uma delas utilizamos a propriedade distributiva. ------------ retirar dos parênteses os polinômios, unir os termos semelhantes. x3 - x2 + 2x2 - 2x - 6x + 6 x3 + x2 – 8x + 6 ------- como não tem mais termos semelhantes, o polinômio já está reduzido ao máximo. Concluímos que: para multiplicarmos polinômio por polinômio devemos multiplicar cada termo de um por todos os termos do outro.
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